中瑞祥解析河內(nèi)塔背景由來以及算法 背景由來 法國數(shù)學(xué)家愛德華·盧卡斯曾編寫過一個印度的古老傳說：在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針。印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法則移動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。僧侶們預(yù)言，當(dāng)所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡。 不管這個傳說的可信度有多大，如果考慮一下把64片金片，由一根針上移到另一根針上，并且始終保持上小下大的順序。這需要多少次移動呢?這里需要遞歸的方法。假設(shè)有n片，移動次數(shù)是f(n).顯然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(k+1)=2*f(k)+1。此后不難證明f(n)=2^n-1。n=64時， 算法介紹 其實算法非常簡單，當(dāng)盤子的個數(shù)為n時，移動的次數(shù)應(yīng)等于2^n – 1（有興趣的可以自己證明試試看）。后來一位美國學(xué)者發(fā)現(xiàn)一種出人意料的簡單方法，只要輪流進(jìn)行兩步操作就可以了。首先把三根柱子按順序排成品字型，把所有的圓盤按從大到小的順序放在柱子A上，根據(jù)圓盤的數(shù)量確定柱子的排放順序：若n為偶數(shù)，按順時針方向依次擺放 A B C； 若n為奇數(shù)，按順時針方向依次擺放 A C B。 ⑴按順時針方向把圓盤1從現(xiàn)在的柱子移動到下一根柱子，即當(dāng)n為偶數(shù)時，若圓盤1在柱子A，則把它移動到B；若圓盤1在柱子B，則把它移動到C；若圓盤1在柱子C，則把它移動到A。 ⑵接著，把另外兩根柱子上可以移動的圓盤移動到新的柱子上。即把非空柱子上的圓盤移動到空柱子上，當(dāng)兩根柱子都非空時，移動較小的圓盤。這一步?jīng)]有明確規(guī)定移動哪個圓盤，你可能以為會有多種可能性，其實不然，。 ⑶反復(fù)進(jìn)行⑴⑵操作，最后就能按規(guī)定完成漢諾塔的移動。 所以結(jié)果非常簡單，就是按照移動規(guī)則向一個方向移動金片： 如3階漢諾塔的移動：A→C,A→B,C→B,A→C,B→A,B→C,A→C 漢諾塔問題也是程序設(shè)計中的經(jīng)典遞歸問題，下面我們將給出遞歸和非遞歸的不同實現(xiàn)源代碼。
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